魏尔斯特拉斯函数/魏尔斯特拉斯函数的概念

你见过的最丑的函数曲线图形是什么?

你是否曾见过一张曲线图，令你不禁倒吸一口凉气？那便是魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass Function）的视觉呈现 ，它是一种连续但不可导的函数。当你试图放大观察时
，会惊讶地发现曲线上的褶皱越来越多，多到似乎无法计算出准确的数量 ，简直丑到难以描绘 。

奇偶性：由tan（-x）=-tan（x），知正切函数是奇函数
，它的图象关于原点呈中心对称
。图像（如图所示）实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外 ，所有x=（n/2）π （n∈Z） 都是它的对称中心。

正割函数secx图像在y=secx中
，以x的任一使secx有意义的值与它对应的y值作为（x，y） ，在直角坐标系中作出的图形叫正割函数的图像
，也叫正割曲线 。正割函数secx性质：『1』定义域，x不能取90度 ，270度
，-90度，-270度等值。『2』值域 ，secx≥1或secx≤－1
，即为（-∞，-1]∪[1 ，+∞）
。

证明魏尔斯特拉斯函数?简洁些

魏尔斯特拉斯函数的性质通过级数分析得到了证明。每个函数项a^n \cos（b^n \pi x）的绝对值都小于常数a^n，且正项级数\（\sum_{n=0} ^\infty a^n\）由于收敛性
，使得整个级数和f（x）在实数集{\（\mathbb R\）}上连续 。然而，关键的结论是 ，函数f（x）并非处处可导
。

魏尔斯特拉斯函数可以通过一个级数来表示
，即$f = sum_{n=0}^{infty} a^n cos$。每个函数项$a^n cos$的绝对值都小于常数$a^n$ 。正项级数$sum_{n=0}^{infty} a^n$是收敛的，因此整个级数和$f$在实数集$mathbb{R}$上是连续的
。

由于无穷级数的每一个函数项matha^n \cos（b^n \pi x）/math的绝对值都小于常数matha^n/math ，而正项级数 math \sum_{n=0} ^\infty a^n/math 是[[收敛]]的。由[[比较审敛法]]可以知道原级数一致收敛 。

魏尔斯特拉斯函数weierstrassfunction

魏尔斯特拉斯函数是由德国数学家Karl Weierstrass提出的一种数学函数
。它的基本形式为：f = Σ）
，其中a和b是两个正数，且a的绝对值小于1 ，n是正整数。这个函数在其定义域内几乎是处处连续的
，且具有特定的奇偶性质 。

在数学中， 魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数
。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数 ，因为每一点的导数都不存在
，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画[1]。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的 。

魏尔斯特拉斯函数，以其独特的分形特性而闻名 ，是数学中一类处处连续但处处不可导的实值函数。这个函数的出现推翻了当时人们对连续函数的传统理解，即认为除了少数特殊点
，连续函数在每一点都有斜率
。魏尔斯特拉斯的函数定义为一个无穷级数，其连续性和不可导性的证明在1872年的一篇论文中首次提出。

那便是魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass Function）的视觉呈现 ，它是一种连续但不可导的函数 。当你试图放大观察时
，会惊讶地发现曲线上的褶皱越来越多，多到似乎无法计算出准确的数量 ，简直丑到难以描绘
。

魏尔斯特拉斯函数的构造

魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：其中0a1
，b为正的奇数，使得：这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。证明这个函数处处连续并不困难 。由于无穷级数的每一个函数项的绝对值都小于常数 ，而正项级数是收敛的
。

魏尔斯特拉斯函数的构造在魏尔斯特拉斯1872年6月18日的论文中首次展现
，其表达式为：f（x） = \sum_{n=0} ^\infty a^n \cos（b^n \pi x）其中，0a1 ，b 为正奇数
，需满足条件ab 1+\frac{3}{2} \pi。这个函数的独特性质在于它虽然处处连续，但在每一个点上又不可导 。

魏尔斯特拉斯在1872年的论文中构造了一个独特的函数 ，该函数既处处连续又处处不可导
。这个构造的关键是利用0a1和正奇数b，使得函数项的级数一致收敛
，从而确保函数的连续性。

什么是魏尔斯特拉斯函数,为什么?

〖One〗、魏尔斯特拉斯函数是一类处处连续而处处不可导的实值函数 。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在 ，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画
。而且该函数的每一点的斜率也是不存在的。

〖Two〗 、魏尔斯特拉斯函数的这一特性使其成为分形函数的先驱
，尽管当时分形这一概念尚未形成 。无论在哪个尺度上放大，其图像都保持相似性 ，没有明显的光滑变化或单调区间
，这是它区别于传统函数的重要特征。

〖Three〗
、魏尔斯特拉斯函数，一个由德国数学家魏尔斯特拉斯所构建的函数 ，是数学世界中的一个独特存在
。该函数的定义如下：我们设f（x）为魏尔斯特拉斯函数
，这里，a、b为正奇数。魏尔斯特拉斯函数的独特之处在于它不可微 ，这意味着在任何一点上
，它的导数都不存在 。

〖Four〗 、魏尔斯特拉斯函数是一种在数学和物理中非常重要的函数
。解释如下：定义和基本性质 魏尔斯特拉斯函数是由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯提出的，它是一个连续的 ，但任意阶导数都不存在的函数。这个函数以其特殊的性质在实数和复数分析中占据重要地位 。

〖Five〗、在数学的领域中，魏尔斯特拉斯函数
，以其独特的性质而闻名，是一种处处连续但处处不可导的实值函数
。这个概念的复杂性在于 ，尽管它的每一个点都满足连续性的定义
，但无法通过笔触描绘出任何部分，因为每个点的导数都不存在。

〖Six〗
、魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数 ，因为每一点的导数都不存在
，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画[1] 。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的
。外尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯[2]。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例 。